Факториал, размещения и сочетания: как выбрать формулу

В комбинаторике одна из главных задач — определить число возможных вариантов. Формула зависит от того, выбираются ли все элементы и важен ли порядок.

Факториал

Факториал числа n — произведение целых чисел от 1 до n:

n! = 1 × 2 × ... × n

По определению 0! = 1. Факториал показывает, сколькими способами можно упорядочить n различных элементов. Например, три книги можно расставить 3! = 6 способами.

Размещения без повторений

Размещения отвечают на вопрос: сколькими способами можно выбрать k элементов из n, если порядок важен?

A(n, k) = n! / (n − k)!

Из пяти участников золото, серебро и бронзу можно распределить:

A(5, 3) = 5 × 4 × 3 = 60 способами.

Порядок важен, потому что первое и второе места различаются.

Сочетания без повторений

Если важен только состав группы, используют сочетания:

C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)

Выбрать троих представителей из пяти можно C(5, 3) = 10 способами. Группа из Анны, Бориса и Веры остаётся той же независимо от порядка перечисления.

Как выбрать операцию

• Упорядочиваются все n элементов — факториал.
• Выбираются k из n, порядок важен — размещения.
• Выбираются k из n, порядок не важен — сочетания.

Все три режима в Fast-Tool работают без повторений: один элемент нельзя выбрать дважды.

Расчёт в Fast-Tool

1. Откройте калькулятор комбинаторики.
2. Выберите факториал, размещения или сочетания.
3. Введите целое n, а при необходимости — k.
4. Нажмите «Рассчитать».

Допустимы целые значения от 0 до 1000, причём k не может превышать n. Результат вычисляется точно с помощью BigInt, поэтому большие целые числа не переводятся в приближённую форму.

Вычисления выполняются локально в браузере. Перед выбором формулы внимательно определите, различается ли порядок и допускаются ли повторения: калькулятор не может вывести эти условия из чисел n и k.